三堆球、每次從任意一堆拿走幾顆、拿最後一顆輸

問題：
有三堆球，每堆球數量不一。參加遊戲的兩人，輪流在其中，選擇任意一堆，拿走幾顆球。
每次拿走的數量任意，但不能跨堆拿。
拿到最後一顆球的人，就輸了比賽。
請問，要怎麼拿，才能確保必勝？

解答：

先想特例。
1.只有一堆球，是個無聊的特例。只留下最後一顆，其他全部移走。
2.兩堆球。數量分別p和q。為了方便，我們把它記做(p q)。這時也很單純，只有兩種狀況。
　2.0.數量為(1 x)時，把它變成1
　2.1.不是上述狀況，數量為一般的(p q), p大於1而且p小於q時，把它變成(p p)
　意思就是說，當兩堆的數量都不是只剩一顆的時候，不管對手怎麼拿，我方就保持讓兩堆一樣多，直到出現(1 x)這種組合時，我方把那一堆x全數拿走，留下1顆給對手。

好了，現在進入一般狀況的討論。
3.三堆球(p q r)
　3.0.數量為(1 1 x)時，把它變成(1 1 1)
　3.1.不是上述狀況，數量為一般(p q r)，在十進位的表示之下，不容易看出做法。把p q r改用二進位表示，就容易得多。要做的事情是：在二進位表示下，不要讓某一位元落單，只有在其中一堆出現；也不要讓某一位元在三堆當中都出現。要做到的是，從最高位元到最低位元，都是成對出現。
　例如，(3 8 9)用二進位表示是(0011 1000 1001)。這個例子當中，標紅色的那個1在三組當中單獨存在，其他位置的1則是成對的。我方得把它變成(0001 1000 1001)也就是(1 8 9)。再拿(8 10 13)做第二個例子：(8 10 13)用二進位表示是(1000 1010 1101)，此例當中所有位置的1都不是成對出現。它要不是單獨存在，就是三個都是1。我方得把它變成(1000 1010 0010)也就是(8 10 2)，或者重新依大小順序記為(2 8 10)，這樣就是每個位置的1都成對出現。第三個例子，是有兩堆相同數量，也就是(p p r)而且p不等於1的狀況，很容易得知要讓每一位元皆成對出現就是要拿掉數量不同的那一堆，成為(p p 0)。
　前面三個都是例子，至於實際上面對三堆球，應該動哪一堆，並且要拿走多少顆，才能夠在『只更動其中一堆的數量』的限制之下，讓每一位元都成對出現？檢查的通則，是從最高位元看起。如果此位元只有某一堆為1其他兩堆為0，就挑這一堆下手。如果不是這樣的狀況，而是此位元有兩堆甚至三堆都是1，就往低位元移動一位，繼續做相同的檢查，直到確定了某一堆為止。一旦確定了挑哪一堆下手之後，要拿走幾顆才會讓『最高位元至最低位元，每一位元都成對出現』？這個問題就很簡單了。

　前述的檢查，有兩種情況，即使從最高位元一路檢查到最低位元，都沒有辦法決定唯一的一堆。第一種狀況是對手給我方的數字已經是位元成對的，例如對方給我們(1 8 9)或者(1 4 5)之類的數字。倘若對方用正確的步驟玩下去，是立於不敗之地的。另外一個情況是某一（或者某些）位元曾經出現三堆都是1，其他位元要不是皆0就是已經成對。這樣的狀況下，我方挑哪一堆動手，皆可以找到讓『最高位元至最低位元，每一位元都成對出現』的數量。

　在3.1.當中提到的，二進位的每個位元成對出現，就能確保必勝，這是前面2.1.推廣的一般狀況。至於為什麼保證必勝，可以用數學證明，適合做為練習題。此外，這個問題可以一般化，變成n堆球的遊戲。