在計算器上頭不斷地按cos

問:

用一個老式的計算器（沒有先乘除，後加減的），按一個initial value（例如0.1），再按cos（此時答案欄出現cos 0.1的值，其值約為0.95，其中0.1是弳度而不是角度），再按cos（此時答案欄出現的值是cos(cos0.1)），再按cos，…，如此一直按下去。最後會發生什麼狀況?



答：

可以有兩種方法看這個問題：

其一是把這個問題看成一個數列x_n=cos x_n-1，討論這個數列的收歛性。
如果收歛
x_inf --> x 則在無限多項之後，x=cos x，所以收歛到的值即是這個解。

其二是作圖：可以做橫軸為x，縱軸為cos x的圖，由x求得y之後，第二次迭代，需要作縱軸為y，橫軸為cos y的圖。如此迭代下去，由簡易的觀察即可得知：最後會收歛至兩圖形相交處，即 y=cos x與x=cos y的聯立解。


收歛性：

所有的初值都會收歛，其原因是cos這個連續函數，對每一個閉區間 R而言，對應的值區間cos R總是比較小，這樣的迭代，對不同的initial value的兩個數列而言，在數列第n項，兩者的差，將隨著n的增大而減小，且兩者差所構成的數列，後項比前項總是小於1，表示該數列收歛至0，所以數列收歛至同一值。

這個題目可以變得更複雜，例如一次按cos，一次按sin。