2007/04/17

在計算器上頭不斷地按cos

問:

用一個老式的計算器(沒有先乘除,後加減的),按一個initial value(例如0.1),再按cos(此時答案欄出現cos 0.1的值,其值約為0.95,其中0.1是弳度而不是角度),再按cos(此時答案欄出現的值是cos(cos0.1)),再按cos,…,如此一直按下去。最後會發生什麼狀況?



答:

可以有兩種方法看這個問題:

其一是把這個問題看成一個數列xn=cos xn-1,討論這個數列的收歛性。
如果收歛
xinf
--> x 則在無限多項之後,x=cos x,所以收歛到的值即是這個解。

其二是作圖:可以做橫軸為x,縱軸為cos x的圖,由x求得y之後,第二次迭代,需要作縱軸為y,橫軸為cos y的圖。如此迭代下去,由簡易的觀察即可得知:最後會收歛至兩圖形相交處,即 y=cos x與x=cos y的聯立解。


收歛性:

所有的初值都會收歛,其原因是cos這個連續函數,對每一個閉區間 R而言,對應的值區間cos R總是比較小,這樣的迭代,對不同的initial value的兩個數列而言,在數列第n項,兩者的差,將隨著n的增大而減小,且兩者差所構成的數列,後項比前項總是小於1,表示該數列收歛至0,所以數列收歛至同一值。

這個題目可以變得更複雜,例如一次按cos,一次按sin。

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