以直線平分一個湖的周長與面積

問：

如何以一條直線，切割一個封閉曲線，使其周長與面積皆被平分？
（如何找到一條直線，同時平分一個湖的周長與面積？）

為使問題單純，封閉的曲線不會交叉，中間沒有洞（湖中沒有島）。


參考解答：（一種建構式的做法）

1. 封閉曲線上，決定某一個點A₀，當做起點，並決定初始的step size（例如：周長的1/100）以及方向（例如順時針）。
2. 對每一點A_i，可以在封閉曲線上找到『對岸』的唯一的一點B_i，使周長平分。
3. 直線連接兩點。檢查封閉曲線是否被平分為左右兩邊相等，若相等，則結束。
（在這裏，『左』或者『右』是站在Ai向Bi的方向來看的）
4. 如果某一邊的面積較大（例如左邊），則在封閉曲線周邊，依原訂的方向（例如順時針）移動一個step（例如，百分之一的周長），並且回到步驟2。 如果換成另一邊面積較大（例如，上一次是左邊，但這一次變成右邊），則縮小step size（例如，原先step size的十分之一）並往反方向尋找。如此每一次碰到換邊面積較大時，就縮小step size並往反方向尋找，則最終必可找到平分周長與面積的直線。

即使每一步都不能平分湖面，也不會總是左邊面積比較大，因為只要走到起點的對岸（也就是由起始點A₀走到起始點的周長對分點B₀的時候），就成了右邊面積比較大。由於左右兩邊的面積差，是一個連續函數，而且不是恆為正或者恆為負，因此，可以確定這一條直線的存在。

同樣的題目可以變形為：兩個湖（不相連），找到一條直線，同時可以分割兩個湖為等面積的兩塊。