如何估計log7

問：
在已知常用對數 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 的前提下，我們知道
log 4 = log(2²) = 2·log 2 = 0.6020
log 5 = log(10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990
log 6 = log(2·3) = log 2 + log 3 = 0.7781
log 7 = ?
log 8 = log(2³) = 3·log 2 = 0.9030
log 9 = log(3²) = 2·log 3 = 0.9542
log10 = 1

如果手邊沒有計算器，有沒有什麼好辦法，用可接受的紙筆計算複雜度，估計 log7 的值，愈準愈好？


答：
由於沒有標準的做法，這個問題其實需要一點創造力。
至少可以使用下列方法：

線性內插，log 7 ≈ ( log 6 + log 8 )/2 = (0.7781 + 0.9030)/2 = 0.8406，
這個估計，等效於用 log 48 估 log 49

線性內插，用 log 12 和 log 15 估 log14
log 14 ≈ 1/3·(log 12) + 2/3·(log 15) = 1/3·(2log 2+log 3) + 2/3·(log 10+log 3-log 2) = 1/3 · 1.0791 + 2/3 · 1.1761 = 1.1438
log 7 = log 14 – log 2 = 1.1438 - 0.3010 = 0.8428

線性內插，縮小範圍以提高準確度，例如 log 7 ≈ 1/4 · log 6.4 + 3/4 · log 7.2 = 1/4·(6 log 2-log 10) + 3/4·(3 log 2 + 2 log 3 - log 10) = 1/4·(1.8060 - 1) + 3/4·(0.9030 + 0.9541 - 1) = 0.8443

線性內插，用比較平滑的位置，
例如 log 49 ≈ (log48 + log50)/2
log 7 = log49/2 ≈ (log48 + log50)/4 = (0.7781 + 0.9030 + 1.6990)/4 = 0.8450

二次內插。能使用此法，並且能計算出答案者較少。一般可能想用 log(x) ≈ a x² + b x + c，代入三個點（例如log 5, log 6, log8）解a, b, c之後，再算 log7。然而，除非習於筆算，否則以手算得出正確值的機會甚低。

比較不會出錯的算法是使用下表，由左至右，逐列計算前一列的後項減前項：

原函數(拋物線)	差分(線性函數)	二次差分(常數)
log 5 = 0.6990	（後項減前項）
log 6 = 0.7781	0.0791	（後項減前項）
log 7 = x	x - 0.7781	x - 0.8572
log 8 = 0.9030	0.9030 - x	1.6811 - 2x

得 1.6811 - 2x = x - 0.8572
得 x = 0.8461

這個只是單純的加減算，計算出錯的機率低一點。

同樣的，可以用此法做更高次的內插（例如加入 log 9 和 log 10）以提高精確度。

原函數(四次函數)	差分(三次函數)	二次差分(二次函數)	三次差分(線性)	四次差分(常數)
log 5 = 0.6990	(後項減前項)
log 6 = 0.7781	0.0791	(後項減前項)
log 7 = x	x - 0.7781	x - 0.8572	(後項減前項)
log 8 = 0.9030	0.9030 - x	1.6811 - 2x	2.5383 - 3x	(後項減前項)
log 9 = 0.9542	0.0512	x - 0.8518	3x - 2.5329	6x - 5.0712
log10 =1	0.0458	-0.0054	0.8464 - x	3.3793 - 4x

得 6x - 5.0712 = 3.3793 - 4x ,
x = 0.8451